Question

3．已知f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，當(dāng)m≤x≤n時(shí)，f（x）取值范圍為2m≤y≤2n，求m，n的值．

Answer 1

分析 由f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x的圖象是開口朝下，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值$\frac{1}{2}$，可得2m≤2n≤$\frac{1}{2}$，進(jìn)而得到當(dāng)m≤x≤n時(shí)，f（x）為增函數(shù)，則m，n是方程f（x）=2x的兩根，解得m，n的值．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x的圖象是開口朝下，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值$\frac{1}{2}$，
故2m≤2n≤$\frac{1}{2}$，
故m≤n≤$\frac{1}{4}$，
即當(dāng)m≤x≤n時(shí)，f（x）為增函數(shù)，
故f（m）=2m，且f（n）=2n，
即m，n是方程f（x）=2x的兩根，
解-$\frac{1}{2}$x²+x=2x得：x=-2，或x=0，
故m=-2，n=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．