Question

17．已知命題p：?x∈R，使x²-4x+a＜0成立，命題q：?x∈R，|x-2|+|x+1|≥a恒成立．
（1）寫出命題p的否定；
（2）若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)特殊命題的否定方法，可得到命題p的否定；
（2）若p或q為真，p且q為假，則p，q中一個為真，一個為假，進而可得滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵命題p：?x∈R，使x²-4x+a＜0，
∴命題￢p：?x∈R，使x²-4x+a≥0，
（2）若命題p：?x∈R，使x²-4x+a＜0成立，
則△=16-4a＞0，即a＜4，
令y=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）+（x+1）|=3，
若命題q：?x∈R，|x-2|+|x+1|≥a恒成立，
則a≤3，
∵p或q為真，p且q為假，
則p，q中一個為真，一個為假
當p真q假時，3＜a＜4，
當p假q真時，不存在滿足條件的a值，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（3，4），

點評 本題主要考查了p或q復合命題的真假的應用，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)及絕對值函數(shù)的單調(diào)性準確求出命題p，q為真時a的范圍