Question

已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，求證：a⊥α。

Answer 1

解析:

此題需要作出輔助線，可有多種證明方法。

證法1:如圖2－57：在α內(nèi)取一點(diǎn)P，作PA⊥β于A，PB⊥γ于B，

則PA⊥a，PB⊥a，又PAα，PBα，PA∩PB＝P，∴ a⊥α。

證法2：如圖2－58，在a上任取一點(diǎn)Q，作QC ⊥α于C，∵β∩γ＝a，∴Q∈β，

又β⊥α，∴QCβ，同理可證QCγ，∴QC為β與γ的交線a，∴ a⊥α。

證法3：如圖2－59，在a上取點(diǎn)R，在β內(nèi)作RD垂直于α、β的交線l于D，

∴RD⊥α，同法在γ內(nèi)，作RE垂直于α，交α與γ的交線m于E，則RE⊥α，過(guò)平面外一點(diǎn)，作這個(gè)平面的垂線是惟一的，∴RD、RE重合，則它既包含于β，又包含于γ，

∴ a⊥α。

證法4：如圖2－60，在β、γ內(nèi)分別取M、N分別作α、β的交線l和α、γ的交線m的垂線c，d，則c⊥α，d⊥α，c//d，c//a，∴ a⊥α。

點(diǎn)評(píng): 此題是線線，線面，面面垂直轉(zhuǎn)化典型題，多解題，對(duì)溝通知識(shí)和方法，開(kāi)拓解題思路是有益的。