Question

如圖所示，斜三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，A₁C⊥底面ABC，∠A_lAC=60°,∠BAC=90°，AB=AC=．

(1)求點C_l到平面A_lABB_l的距離；

(2)求二面角A―BC―B₁的正切值．

Answer 1

解：(1)∵A_lC⊥平面ABC，A_lC⊥平面A_lACC_l，

    ∴平面A₁ACC_l⊥平面ABC．

    其中AC為交線，又∠BAC=90°．即AB⊥AC．

    ∴AB⊥平面A₁ACC₁，而AB平面A₁ABB₁，

∴平面A₁ABB_l⊥平面A₁ACC₁，其中A₁A為交線，

由棱柱的性質知C₁C∥平面A₁ABB₁，

    ∴點C₁到平面A₁ABB₁的距離等于點C到平面A₁ABB₁的距離．

    作CM⊥A₁A于M，則CM⊥平面A_lABB₁，

    ∴CM之長就是點C₁到平面A₁ABB₁的距離．

在Rt△ACM中，∠MAC=∠A_lAC=60°，AC=．

∴CM=sin60°=，即點C_l到平面A₁ABB_l的距離為．

(2)作B_lH上平面ABC，H為垂足，連接BH，則有A_lCB_lH，

∴CHA_lB_l，又ABA_lB_l．

    ∴ABCH，而∠BAC=90°，∴四邊形ABHC是正方形．

連接AH交BC于O，則AH⊥BC，連接O，則有BC⊥OB₁(三垂線定理)，

∴∠AOB₁是二面角A―BC―B_l的平面角．

在Rt△B_lOH中，B_lH=A_lC=ACtan60°=，

OH=AH=．∴tan∠B_lOH=

    即二面角A―BC―B_l的正切值為－．