Question

函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，函數(shù)的解析式為f(x)=

2

x

-1．
（1）求f（-1）的值；
（2）求當x＜0時，函數(shù)的解析式；
（3）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

（1）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1；
（2）設x＜0，則-x＞0，所以f(-x)=

2

-x

-1，
又f（x）為奇函數(shù)，所以上式即-f(x)=

2

-x

-1，
所以f（x）=

2

x

+1；
（3）設x₁，x₂是（0，+∞）上的兩個任意實數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=(

2

x1

-1)-(

2

x  2

-1)=2（

x2-x1

x1x2

）．
因為x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以2（

x2-x1

x1x2

）＞0，則f（x₁）＞f（x₂）
因此f(x)=

2

x

-1．是（0，+∞）上的減函數(shù)．