Question

5．已知f（x）=x³-6x²+9x+a有三個不同的零點，則下述判斷中一定正確的是（　�。�

• A． a為任意實數(shù)
• B． a=f′（3）
• C． a＞f′（3）
• D． a＜f′（3）

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步求得函數(shù)的極值，由極大值大于0且極小值小于0求得a的范圍，然后逐一核對四個選項得答案．

解答 解：∵f（x）=x³-6x²+9x+a，∴f′（x）=3x²-12x+9，
由f′（x）=3x²-12x+9=0，得x=1或x=3，
當x∈（-∞，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（1，3）時，f′（x）＜0．
∴x∈（-∞，1），（3，+∞）時，f（x）為增函數(shù)；當x∈（1，3）時，f（x）為減函數(shù)，
∴f（x）的極大值為f（1）=4+a，f（x）的極小值為f（3）=a．
要使f（x）=x³-6x²+9x+a有三個不同的零點，則$\left\{\begin{array}{l}{4+a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，即-4＜a＜0．
∵f′（3）=0，∴a＜f′（3）．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)零點的判定定理，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．