Question

17．若函數(shù)f（x）=2m（lnx+x）-x²有唯一零點，則m的取值范圍是m＜0或m=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由f（x）=0得2m（lnx+x）=x²，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由f（x）=2m（lnx+x）-x²=0，
得2m（lnx+x）=x²，
若m=0，則x=0，不滿足函數(shù)的定義域（0，+∞），故m≠0，
設(shè)h（x）=2m（lnx+x），則函數(shù)的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h′（x）=2m（1+$\frac{1}{x}$），
若m＜0，則h′（x）＜0恒成立，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時函數(shù)h（x）與y=x²，在（0，+∞）上只有一個交點，滿足條件．
若m＞0，則h′（x）＞0恒成立，則函數(shù)單調(diào)遞增，
要使函數(shù)f（x）只有一個零點，則兩個函數(shù)只有一個交點，即此時兩個函數(shù)相切，
設(shè)切點為（a，b），
則h′（x）=2m（1+$\frac{1}{x}$），y′=2x，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{2m（1+\frac{1}{a}）=2a}\\{2m（lna+a）={a}^{2}}\end{array}\right.$得a=1，m=$\frac{1}{2}$，
綜上m＜0或m=$\frac{1}{2}$，
故答案為：m＜0或m=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，借助導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．