Question

15．已知f（x）=x²-4x+3在[0，a]的值域是[-1，3]．實數(shù)a的取值范圍記為集合A，g（x）=cos²x+$\frac{a}{2}$sinx．記g（x）的最大值為g（a）．若g（a）≥b，對任意實數(shù)a∈A恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是b≤$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=x²-4x+3的圖象，從而可得A=[2，4]；再化簡g（x）=-（sinx-$\frac{a}{4}$）²+1+$\frac{{a}^{2}}{16}$，從而可得g（a）=1+$\frac{{a}^{2}}{16}$，再求g（a）的最小值即可．

解答 解：作函數(shù)f（x）=x²-4x+3的圖象如下，
，
∵f（x）=x²-4x+3在[0，a]的值域是[-1，3]，
∴2≤a≤4，故A=[2，4]；
g（x）=cos²x+$\frac{a}{2}$sinx=1-sin²x+$\frac{a}{2}$sinx
=-（sinx-$\frac{a}{4}$）²+1+$\frac{{a}^{2}}{16}$，
∵$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}{4}$≤1，
∴g（a）=1+$\frac{{a}^{2}}{16}$，
∵A=[2，4]，∴g_min（a）=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∵g（a）≥b對任意實數(shù)a∈A恒成立，
∴b≤$\frac{5}{4}$，
故答案為：b≤$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，三角函數(shù)的最值的求法，同時考查了恒成立問題．