Question

已知函數(shù)f(x)=log_a|x|(a＞0,且a≠1),且f(x²+4x+8)＞f(-π).

(1)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并加以證明;

(2)若方程4^a-m·2^a+1+5=0有兩個不相等的實根,求m的取值范圍.

Answer 1

解：(1)由|x|＞0,知f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).

對定義域內(nèi)的任一x,都有f(-x)=log_a|-x|=log_a|x|=f(x).

∴π,-π在定義域內(nèi).

∴f(-π)=f(π).

又x²+4x+8=(x+2)²+4≥4＞π＞0,

且f(x²+4x+8)＞f(-π)=f(π),

則a＞1.

∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),在(-∞,0)上為減函數(shù).

(2)令2^a=t,因為a＞1,所以t＞2.則方程4^a-m·2^a+1+5=0可化為g(t)=t²-2mt+5=0.

依題意t²-2mt+5=0有兩個不等且大于2的實根,

則有(-2m)²-20＞0,且＞2.

又由g(2)＞0,解得＜m＜,

即方程有兩不等實根時,＜m＜.