Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），過(guò)點(diǎn)E(

a2

c

，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且

F1A

=2

F2B

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線AB的斜率．

Answer 1

分析：（1）先確定F₂是F₁E的中點(diǎn)，進(jìn)而可得幾何量之間的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，利用B為線段AE的中點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理，可求直線AB的斜率．

解答：解：（1）由

F1A

=2

F2B

得F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，
∴F₂是F₁E的中點(diǎn)，從而

a2

c

-c=2c，整理，得a²=3c²，
∴離心率e=

c

a

=

3

3

（2 ）由（1）得b²=a²-c²=2c²，所以橢圓的方程可寫(xiě)為2x²+3y²=6c²
設(shè)直線AB的方程為y=k(x-

a2

c

)，即y=k（x-3c）
由已知設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則它們的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2

消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．
依題意，△=48c²（1-3k²）＞0，∴-

3

3

＜k＜

3

3

而x1+x2=

18k2c

2+3k2

①x1x2=

27k2c2-6cc

2+3k2

②
由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以x₁+3c=2x₂③
聯(lián)立①③解得x1=

9k2c-2c

2+3k2

，x2=

9k2c+2c

2+3k2

．將x₁，x₂代入②中，解得k=±

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線的向量，考查向量知識(shí)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．