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如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，，∠PAB＝60°．

(Ⅰ)證明AD⊥平面PAB；

(Ⅱ)求異面直線PC與AD所成的角的大小；

(Ⅲ)求二面角P－BD－A的大�。�

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：在中，由題設(shè)，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

　　(Ⅱ)解：由題設(shè)，，所以(或其補角)是異面直線與所成的角．

　　在中，由余弦定理得

　　．

　　由(Ⅰ)知平面，平面，

　　所以，因而，于是是直角三角形，

　　故．

　　所以異面直線與所成的角的大小為．

　　(Ⅲ)解：過點作于，過點作于，連結(jié)．

　　因為平面，平面，所以．又，因而平面，故為在平面內(nèi)的射影．由三垂線定理可知，．從而是二面角的平面角．

　　由題設(shè)可得，

　　，，

　　，，

　　．

　　于是在中，．

　　所以二面角的大小為．

　　本小題主要考查直線和平面垂直、異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間相角能力、運算能力和推理論證能力．滿分12分．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a，PA=PC=
2
a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=
12
AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，對角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點．
（Ⅰ）證明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大�。�
（3）求點A到面EBD的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）設(shè)PD=AD=a，求三棱錐B-EFC的體積．

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