Question

若函數(shù)f（x）=

4x

x2+1

在區(qū)間[-m，m]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則m的取值范圍是（　�。�

• A、m≤1
• B、m≥1
• C、0＜m＜2
• D、0＜m≤1

Answer 1

分析：先判定f（x）的奇偶性與單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，再求m的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=

4x

x2+1

（x∈R），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

4x

x2+1

=

4

x+ 1 x

；
設(shè)t=x+

1

x

（x＞0），
∴t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，
∴函數(shù)t在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0；
∴f（x）在[0，1]上是增函數(shù)．
又f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上也是增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，1]，
∵f（x）在[-m，m]上是增函數(shù)，
∴-1≤m≤1且-m＜m，
∴0＜m≤1；
∴m的取值范圍是{m|0＜m≤1}．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)先判定f（x）的單調(diào)性再求m的取值范圍，是易錯(cuò)題．