Question

如圖，三定點A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）；三動點D，E，M滿足=t，=t，=t，t∈[0，1]．
（Ⅰ）求動直線DE斜率的變化范圍；
（Ⅱ）求動點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出D，E，M三點的坐標，由三動點D，E，M滿足=t，=t，轉(zhuǎn)化成坐標表示，求出D，E的用參數(shù)表示的坐標．將斜率表示成參數(shù)t的函數(shù)，再用函數(shù)的單調(diào)性求出斜率的范圍．
（2）方法一：由=t，利用向量相等的條件得出點M的坐標關(guān)于參數(shù)t的方程，消參得出點M的橫縱坐標滿足的方程，即動點M的軌跡方程．
方法二：與方法一原理一樣是得到點M的坐標關(guān)于參數(shù)t的方程，只是其在找到坐標之間關(guān)系時沒有用（I）的結(jié)論，而是全部用向量的方法，找到了點M的坐標與參數(shù)t的關(guān)系，此法較繁瑣．
解答：解法一：如圖，（Ⅰ）設D（x，y），E（x_E，y_E），M（x，y）．
由=t，=t，知（x_D-2，y_D-1）=t（-2，-2）．
∴同理．
∴k_DE===1-2t．
∵t∈[0，1]，∴k_DE∈[-1，1]．

（Ⅱ）∵=t
∴（x+2t-2，y+2t-1）=t（-2t+2t-2，2t-1+2t-1）=t（-2，4t-2）=（-2t，4t²-2t）．
∴，
∴y=，即x²=4y．
∵t∈[0，1]，x=2（1-2t）∈[-2，2]．
即所求軌跡方程為：x²=4y，x∈[-2，2]

解法二：（Ⅰ）同上．
（Ⅱ）如圖，=+=+t=+t（-）=（1-t）+t，
=+=+t=+t（-）=（1-t）+t，
=+=+t=+t（-）=（1-t）+t
=（1-t²）+2（1-t）t+t²．
設M點的坐標為（x，y），由=（2，1），=（0，-1），=（-2，1）得

消去t得x²=4y，
∵t∈[0，1]，x∈[-2，2]．
故所求軌跡方程為：x²=4y，x∈[-2，2]
點評：考查向量相等的充要條件與求軌跡方程時先求參數(shù)方程的思路，此類題在消參數(shù)時應注意觀察形式，找到一個消去參數(shù)的好的方法．在方法二中連續(xù)使用向量的三角形法則變形，一定要細心喲！