Question

已知圓系方程x²+y²+2kx+（4k+10）y+5k²+20k=0（k∈R），是否存在斜率為2的直線l被圓系方程表示的任意一圓截得的弦長是定值4

5

？如果存在，試求直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：設出直線的方程，求出圓的圓心坐標，利用圓心距、半弦長與半徑滿足勾股定理，求出所求直線方程即可．

解答：（本小題滿分14分）
解：假設存在滿足條件的直線方程為y=2x+m，
圓的方程配方可得：（x+k）²+（y+2k+5）²=25．
所以圓心到直線的距離d=

1

5

|-2k+2k+5+m|=

|5+m|

5

，
由垂徑定理可得：(

|5+m|

5

)2=52-(2

5

)2，
解得m=0或m=-10，
故存在滿足條件的直線方程，方程為y=2x或y=2x-10．

點評：本題考查直線與圓的位置關系的應用，點到直線的距離公式以及垂徑定理的應用，考查計算能力．