Question

如圖，已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.

(1)求PC與平面PBD所成的角;

(2)求點D到平面PAC的距離;

(3)在線段PB上是否存在一點E,使PC⊥平面ADE?若存在,確定E點的位置,若不存在,說明理由.

Answer 1

解:（1）如圖建立空間直角坐標系D—xyz，∵PD=AD=2,?

則D（0，0，0），A（2，0，0）,O（1，1，0）,B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2).?

(1)∵正方形ABCD，?

∴OC⊥DΒ，?

∵PD⊥平面ABCD，OC 面ABCD，?

∴PD⊥OC.?

又∵DB∩PD=D，∴OC⊥平面PBD.?

∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角.?

∵=(0,2,-2),=(1,1,-2),?

∴cos〈,〉==.?

∴PC與平面PBD所成的角為30°.?

(2)過D作DF⊥平面PAC于點F，設平面PAC的法向量為n=(x,y,z).?

即

令x=1,則y=1,z=1.?

∴n=(1,1,1).?

∴cos〈n,〉===.?

∴D到平面PAC的距離||=||×cos〈n,〉=.?

(3)假設在PB上存在E點，使PC⊥平面ADE，則=λ.?

∵=(2,2,-2),∴=(2λ,2λ,-2λ),?

∴E(2λ,2λ,2-2λ).?

∴=(2λ-2,2λ,2-2λ).?

要使PC⊥平面ADE，即使PC⊥AE，即使·=8λ-4=0.?

即使λ=.?

∴E(1,1,1),∴存在E點且E為PB的中點時PC⊥平面ADE.