Question

12．已知f（x）是定義在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=$\frac{x}{x-1}$
（1）當(dāng)x＜-1時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)$f（\frac{1}{x}）$的定義域；
（3）證明f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)在x＞1的解析式，得到$f（x）=-f（-x）=-\frac{x}{x+1}$；
（2）根據(jù)f（x）的定義域，列出不等式得到函數(shù)f（$\frac{1}{x}$）的定義域；
（3）直接根據(jù)單調(diào)性的定義運(yùn)用作差比較法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答 （1）設(shè)x＜-1，則-x＞1，
∵f（x）為定義域上的奇函數(shù)，
∴$f（x）=-f（-x）=-\frac{x}{x+1}$，
即x＜-1時(shí)，函數(shù)的解析式為f（x）=-$\frac{x}{x+1}$；
（2）∵f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）
∴$\frac{1}{x}$＜-1，或$\frac{1}{x}$＞1，
解得-1＜x＜0，或0＜x＜1，
∴函數(shù)$f（\frac{1}{x}）$的定義域?yàn)椋海?1，0）∪（0，1）；
（3）任取x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{{{x_1}-1}}-\frac{x_2}{{{x_2}-1}}=\frac{{{x_1}（{x_2}-1）-{x_2}（{x_1}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)解析式和定義域的解法，以及根據(jù)單調(diào)性的定義運(yùn)用作差比較法證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．