Question

設(shè)數(shù)列 {a_n} 中，a₁＝a，a_n＋1＋2a_n＝2^n＋1（n∈N*）．

        （Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；

    （Ⅱ）試問數(shù)列 {a_n} 能為等比數(shù)列嗎？若能，試寫出它的充要條件并加以證明；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

解（Ⅰ），

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602575991788201/SYS201205260259222146852659_DA.files/image002.png">，所以，得   4分

（Ⅱ）方法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602575991788201/SYS201205260259222146852659_DA.files/image005.png">，所以，

得：，

當(dāng)時(shí),,顯然成立;

當(dāng)時(shí),是以為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列，

所以，得：

為等比數(shù)列為常數(shù)，易得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為常數(shù)。

方法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602575991788201/SYS201205260259222146852659_DA.files/image005.png">，所以，

即，故是以為首項(xiàng)，－2為公比的成等比數(shù)列，

所以，得：（下同解法一）

方法三：由前三項(xiàng)成等比得，進(jìn)而猜測，對于所有情況都成立，再證明。

【解析】略