Question

如圖，在三棱錐D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E為BC的中點，F(xiàn)在棱AC上，且AF=3FC，

（1）求證：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值；
（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由。

Answer 1

（1）證明：取AC的中點H，因為AB=BC，所以BH⊥AC，
因為AF=3FC，所以F為CH的中點，
因為E為BC的中點，所以EF∥BH，則EF⊥AC，
因為△BCD是正三角形，所以DE⊥BC，
因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥DE，
因為AB∩BC=B，所以DE⊥平面ABC，
所以 DE⊥AC，
因為 DE∩EF=E，所以AC⊥平面DEF。
（2）；
（3）存在這樣的點N，當CN=時，“MN∥平面DEF”，
連結(jié)CM，設(shè)CM∩DE=O，連OF，
由條件知，O為△BCD的重心，CO=CM，
所以 當CF=CN時，MN∥OF，所以。