數(shù)列{xn}滿足x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）證明：{xn}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列．
【答案】
分析：（Ⅰ）通過證明必要條件與充分條件，推出{x
n}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通過①當(dāng)c=0時，②當(dāng)c＞0時，推出0＜c＜1，當(dāng)c
時，證明x
n+1＞x
n．
=
?
．當(dāng)c
時，說明數(shù)列{x
n}是從遞減數(shù)列矛盾．得到0＜c
時，數(shù)列{x
n}是遞增數(shù)列．
解答：當(dāng)c＜0時，x
n+1=-x
2n+x
n+c＜x
n，
∴{x
n}是單調(diào)遞減數(shù)列
充分條件
當(dāng){x
n}是單調(diào)遞減數(shù)列時
x
1=0＞x
2=-x
21+x
1+c
∴c＜0
綜上{x
n}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①當(dāng)c=0時，x
n=x
1=0，此時數(shù)列為常數(shù)列，不符合題意；
②當(dāng)c＞0時，x
2=c＞x
1=0，x
3=-c
2+2c＞x
2=c
∴0＜c＜1
?
?0=x
1≤x
n＜
，
=-（x
n+1-x
n）（x
n+1+x
n-1），
當(dāng)c
時，
⇒x
n-x
n+1+1＞0?x
n+2-x
n+1-1＜0，?x
n+2-x
n+1與x
n+1-x
n同號，
由x
2-x
1=c＞0⇒x
n+1-x
n＞0?x
n+1＞x
n．
=
?
．
當(dāng)c
時，存在N使x
N
⇒x
N+x
N+1＞1⇒x
N+2-x
N+1與x
N+1-x
N異號，
與數(shù)列{x
n}是從遞減數(shù)列矛盾．
所以當(dāng)0＜c
時，數(shù)列{x
n}是遞增數(shù)列．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的證明，充要條件的證明，考查邏輯推理能力，計算能力．
