Question

A、B是拋物線(xiàn)y²=2px(p＞0)上的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足·=0（O是原點(diǎn)）.求證：

（1）A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值；

（2）直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

證明:設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

(1)∵·=0，

∴OA⊥OB.

∴=.

∴x₁x₂=-y₁y₂                                                                                                                                                   ①

由

∴(y₁y₂)²=4p²(x₁x₂)                                                         ④

由①④得y₁y₂=-4p²且x₁x₂=4p².

∴結(jié)論成立.

（2）在（1）中②-③,得（y₁-y₂）(y₁+y₂)=2p(x₁-x₂).

∴.

∴直線(xiàn)AB方程為y-y₁=(x-x₁).

∴y=x+y₁-=+=(x-2p).

∴直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)（2p,0）.