Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（1）證明：PC⊥AD；
（2）求二面角A-PC-D的正弦值；
（3）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：解法一（1）以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，通過得出•=0，證出PC⊥AD．
（2）求出平面PCD，平面PCD的一個法向量，利用兩法向量夾角求解．
（3）設(shè)E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出關(guān)于h的方程求解即可．
解法二：（1）通過證明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．
（2）作AH⊥PC于點H，連接DH，∠AHD為二面角A-PC-D的平面角．在RT△DAH中求解
（3）因為∠ADC＜45°，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點為F，連接BE，EF，故∠EBF（或其補角）為異面直線BE與CD所成的角．在△EBF中，因為EF＜BE，從而∠EBF=30°，由余弦定理得出關(guān)于h的方程求解即可．
解答：解法一：如圖，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（-，，0），P（0，0，2）．
（1）證明：易得=（0，1，-2），=（2，0，0），于是•=0，所以PC⊥AD．
（2）解：=（0，1，-2），=（2，-1，0），設(shè)平面PCD的一個法向量為=（x，y，z），則即
取z=1，則以=（1，2，1）．又平面PAC的一個法向量為=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=
所以二面角A-PC-D的正弦值為．
（3）設(shè)E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（ ，-，h）．由=（2，-1，0），故cos＜＞===
所以=cos30°=，解得h=，即AE=．

解法二：（1）證明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，
所以PC⊥AD．
（2）解：如圖，作AH⊥PC于點H，連接DH，

由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，從而∠AHD為二面角A-PC-D的平面角．
在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A-PC-D的正弦值為．
（3）解：如圖，因為∠ADC＜45°，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，
設(shè)交點為F，連接BE，EF，故∠EBF（或其補角）為異面直線BE與CD所成的角．
由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin=∠ADC=，故sin∠AFB=．
在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，
由余弦定理，BF²=AB²+AF²-2ABAFcos∠FAB，得出AF=，
設(shè)AE=h，在RT△EAF中，EF==，
在RT△BAE中，BE==，
在△EBF中，因為EF＜BE，從而∠EBF=30°，
由余弦定理得到，cos30°=，
解得h=，
即AE=．
點評：本題考查線面關(guān)系，直線與直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查思維能力、空間想象能力，并考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題能力．