Question

已知函數(shù)f（x）=是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a，b的值．（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）若對任意t∈R，m∈[-1，1]，f（t²-2mt）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則有f（0）=0，f（1）=-f（-1），代入數(shù)據(jù)，計算可得a、b的值；
（2）首先對f（x）的表達式變形可得f（x）=（-1），用作差法判斷函數(shù)單調(diào)性即可；
（3）由于f（x）是奇函數(shù)，f（t²-2mt）+f（2t²-k）＜0可以變形為f（t²-2mt）＜f（k-2t²），又由f（x）為減函數(shù)，進一步可以變形為t²-2mt＞k-2t²，即3t²-2mt-k＞0對任意的t∈R恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得△=4m²+12k＜0，即-3k＞m2對于m∈[-1，1]恒成立，解可得答案．
解答：解：（1）因f（x）=是定義在R上的奇函數(shù)，
則有f（0）=0，即=0，解可得b=1；
又f（1）=-f（-1），即=-，解可得a=3．
（2）由（1）可得，f（x）==（-1）
設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（-）=（），
分析易得＞＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）是減函數(shù)；
（3）f（x）是奇函數(shù)，所以f（t²-2mt）＜f（k-2t²）
又由（1）得，f（x）==（-1），且f（x）為減函數(shù)，
則t²-2mt＞k-2t²，即3t²-2mt-k＞0對任意的t∈R恒成立，
有△=4m²+12k＜0，即-3k＞m2對于m∈[-1，1]恒成立，
得-3k＞1，即k＜-；
故k的取值范圍是k＜-．
點評：本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應用，解（3）的關鍵要靈活運用函數(shù)的有關性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題．