Question

15．甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為2、3、4，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3，某人用左手從甲袋中取球，用右手從乙袋中取球，
（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；
（2）若一次在同一袋中取出兩球，如果兩球顏色相同則稱(chēng)這次取球獲得成功．某人第一次左手先取兩球，第二次右手再取兩球，記兩次取球的獲得成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A為“兩手所取的球不同色”，由此能求出P（A）．
（2）依題意，X的可能取值為0，1，2，求出左手和右手所取的兩球顏色相同的概率，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）設(shè)事件A為“兩手所取的球不同色”，則$P（A）=1-\frac{2×3+3×3+4×3}{9×9}=\frac{2}{3}$，
（2）依題意，X的可能取值為0，1，2．
左手所取的兩球顏色相同的概率為$\frac{C_2^2+C_3^2+C_4^2}{C_9^2}=\frac{5}{18}$，
右手所取的兩球顏色相同的概率為$\frac{C_3^2+C_3^2+C_3^2}{C_9^2}=\frac{1}{4}$，
$P（X=0）=（{1-\frac{5}{18}}）（{1-\frac{1}{4}}）=\frac{13}{18}×\frac{3}{4}=\frac{13}{24}$，
$P（X=1）=\frac{5}{18}×（1-\frac{1}{4}）+（1-\frac{5}{18}）×\frac{1}{4}=\frac{7}{18}$，
$P（X=2）=\frac{5}{18}×\frac{1}{4}=\frac{5}{72}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{13}{24}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{5}{72}$

E（X）=0×$\frac{13}{24}+1×\frac{7}{18}+2×\frac{5}{72}$=$\frac{19}{36}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法和求離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．屬于中檔題型．