Question

已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量

e1

=

1 1

，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值，及對應(yīng)的一個特征向量

e2

的坐標(biāo)之間的關(guān)系；
（3）求直線l：2x-4y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程．

Answer 1

考點：矩陣特征值的定義,特征向量的定義

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）先設(shè)矩陣M=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量

e1

及矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）換成（-2，4），得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，從而求得另一個特征值為2，設(shè)矩陣M的另一個特征向量是

e2

=

x y

，解得特征向量

e2

=

x y

的坐標(biāo)之間的關(guān)系．
（3）設(shè)出點（x，y）是直線l上的任一點，其在矩陣M的變換下對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（x′，y′），根據(jù)變換前后寫出關(guān)系式，整理出要求的直線l′的方程．

解答： 解：（1）設(shè)矩陣M=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，
則

a b c d

 

1 1

=8 

1 1

=

8 8

，故

a+b=8 c+d=8

  ①

a b c d

-1 2

=

-2 4

，故

-a+2b=-2 -c+2d=4

    ②
由①②聯(lián)立解得

a=6 b=2 c=4 d=4

，∴M=

6 2 4 4

；
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=λ²-10λ+16，故其另一個特征值為2，
設(shè)矩陣M的另一個特征向量是

e2

=

x y

，則

6 2 4 4

x y

=2

x y

，所以2x+y=0；
（3）設(shè)點（x，y）是直線l上任一點，其在矩陣M的變換下對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（x′，y′），
則

6 2 4 4

x y

=

x′ y′

，所以x=

1

4

x′-

1

8

y′，y=-

1

4

x′+

3

8

y′，
代入直線l的方程后，化簡可得：x′-y′+2=0，即x-y+2=0．
∴直線l：x-y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程為x-y+2=0．

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，屬于基礎(chǔ)題．