Question

16．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點A₁在平面ABC內(nèi)的射影O為AC的中點，A₁O=2，AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$點P在線段A₁B上，且cos∠PAO=$\frac{2}{3}$，則直線AP與平面A₁AC所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 取AA₁的中點H，連結(jié)PO，PH，AN．則PH⊥面AA₁C，△APO為直角三角形，且cos∠PAO=$\frac{2}{3}$，得AP
∠PAH為直線AP與平面A₁AC所成角，sin∠PAH=$\frac{PH}{PA}=\frac{\frac{1}{2}OB}{PA}=\frac{1}{3}$．

解答 解：∵AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，∴AC=2，AO=1．
∵點A₁在平面ABC內(nèi)的射影O為AC的中點，A₁O=2，AB⊥BC，
∴AO，BO，A₁O互相垂直，即面ABC，面AA₁C，面A₁OB互相垂直，
取AA₁的中點H，連結(jié)PO，PH，AN．則PH⊥面AA₁C
△APO為直角三角形，且cos∠PAO=$\frac{2}{3}$，∴AP=$\frac{3}{2}$，
∠PAH為直線AP與平面A₁AC所成角，sin∠PAH=$\frac{PH}{PA}=\frac{\frac{1}{2}OB}{PA}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$

點評 本題考查了空間角的求解，屬于中檔題．