Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（4a+2）x+4lnx，其中a≥0．
（1）若a=0，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），把x=1代入f′（x）中算出f′（1）即可得到切線的斜率，從而求出切線；
（2）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答：解（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+4lnx，
從而f′（x）=-2+

4

x

，其中x＞0．                        
所以f′（1）=2．
又切點(diǎn)為（1，-2），
所以所求切線方程為y+2=2（x-1），即2x-y-4=0．    
（2）因?yàn)閒（x）=ax²-（4a+2）x+4lnx，
所以f′（x）=2ax-（4a+2）+

4

x

=

2ax2-(4a+2)x+4

x

=

2(ax-1)(x-2)

x

，其中x＞0．
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-

2(x-2)

x

，x＞0．
由f′（x）＞0得，0＜x＜2，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2）；單調(diào)減區(qū)間是（2，+∞）；
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，因?yàn)?span id="siuw468" class="MathJye">

1

a

＞2，由f′（x）＞0，得x＜2或x＞

1

a

．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2）和（

1

a

，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（2，

1

a

）；
③當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′（x）=

(x-2)2

x

≥0，且僅在x=2時(shí)，f′（x）=0，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
④當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，因0＜

1

a

＜2，由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

a

或x＞2，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

a

）和（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（

1

a

，2）．
綜上，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2），單調(diào)減區(qū)間是（2，+∞）；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2）和（

1

a

，+∞），減區(qū)間為（2，

1

a

）；
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

a

）和（2，+∞），減區(qū)間為（

1

a

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．