Question

14．若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|（$\overline{z}$+i）（z-i）|的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，可得$\overline{z}•z$=1．令z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．可得（$\overline{z}$+i）（z-i）=1+（z-$\overline{z}$）i+1=2+2isinθ．再利用模的計算公式即可得出．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，∴$\overline{z}•z$=1．
令z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．
則（$\overline{z}$+i）（z-i）=1+（z-$\overline{z}$）i+1=2+2isinθ．
∴|（$\overline{z}$+i）（z-i）|=$\sqrt{4+4si{n}^{2}θ}$≤2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=±1時取等號．
∴|（$\overline{z}$+i）（z-i）|的最大值是2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計算公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．