Question

某校為了解學生寒假期間的學習情況，從初中及高中各班共抽取了50名學生，對他們每天平均學習時間進行統(tǒng)計．請根據(jù)下面的各班人數(shù)統(tǒng)計表和學習時間的頻率分布直方圖解決下列問題：

年級	人數(shù)
初一	4
初二	4
初三	6
高一	12
高二	6
高三	18
合計	50

（Ⅰ）抽查的50人中，每天平均學習時間為6～8小時的人數(shù)有多少？
（Ⅱ）經調查，每天平均學習時間不少于6小時的學生均來自高中．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從學習時間不少于6小時的學生中隨機抽取6名學生進行問卷調查，求這三個年級各抽取了多少名學生；
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6名學生中隨機選取2人進行訪談，求這2名學生來自不同年級的概率．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（I）利用頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，求得學習時間為6～8小時的頻率，再根據(jù)頻數(shù)=頻率×樣本容量求解；
（II）求得分層抽樣的抽取比例，再根據(jù)高中三個年級的人數(shù)分別乘以抽取比例可得三個年級的抽取人數(shù)；
（III）利用列舉法寫出從6名學生中選取2人所有可能的情形，從中找出2名學生來自不同年級的情形，利用個數(shù)比求概率．

解答： 解：（Ⅰ）由直方圖知，學習時間為6～8小時的頻率為1-（0.02+2×0.12+0.06）×2=0.36，
∴學習時間為～小時的人數(shù)為50×0.36=18；
（Ⅱ）由直方圖可得，學習時間不少于 6小時的學生有18+12+6=36 人．
∵從中抽取6名學生的抽取比例為

6

36

=

1

6

，高中三個年級的人數(shù)分別為12、6、18，
∴從高中三個年級依次抽取2名學生，1名學生，3名學生；
（Ⅲ）設高一的2 名學生為A₁，A₂高二的 1名學生為B，高三的 3名學生為C₁，C₂，C₃．
則從6名學生中選取2人所有可能的情形有（　A₁，A₂�。�，（A₁，B�。�，（A₁，C₁�。�，（　A₁，C₂�。�，（　A₁，C₃），（A₂，B�。�，（　A₂，C₁），（　A₂，C₂），（A₂，C₃�。�，（B，C₁），（C₁，C₂�。�，（C₁，C₃�。�，（C₂，C₃），（B，C₂），（B，C₃�。�，共15種可能． 
其中2名學生來自不同年級的有（　A₁，B），（A₁，C₁），（　A₁，C₂　），（A₁，C₃），（　A₂，B），（　A₂，C₁　），（A₂，C₂），（A₂，C₃），（　B，C₁），（B，_C2�。�，（　B，C₃），共11種情形，
故所求概率為P=

11

15

．

點評：本題考查了頻率分布直方圖，古典概型的概率計算，是概率統(tǒng)計的典型題，根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=

頻數(shù)

樣本容量

=小矩形的高×組距來獲得數(shù)據(jù)，是解答此類問題的基本方法．