Question

（本小題滿分12分）

如圖，在底面是正方形的四棱錐中，面，交于點，是中點，為上一點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）確定點在線段上的位置，使//平面，并說明理由；

（Ⅲ）當(dāng)二面角的大小為時，求與底面所成角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明見解析

（Ⅱ）G為EC中點，理由見解析

（Ⅲ）

【解析】

證明（Ⅰ）：∵面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD,AC交于點E，

∴BD,ACBD, 

∴BD平面PAC, …………………………………………3分

∵FG平面PAC,

∴BDFG       …………………………………………4分

（Ⅱ）當(dāng)G為EC中點，即AG=AC時，F(xiàn)G//平面PBD,  ……………………5分

理由如下：

連接PE，由F為PC中點,G為EC中點，知FG//PE，

而FG平面PBD, PE平面PBD,

故FG//平面PBD。 ……………………………8分

(Ⅲ)：作BHPC于H,連結(jié)DH,

∵面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

∴PB=PD,

又∵BC=DC,PC=PC,

∴△PCB≌△PCD,

∴DHPC,且DH=BH,

∴BHD就是二面角B-PC-D的平面角， …………………………9分

即BHD=，

∵面ABCD, ∴PCA就是PC與底面ABCD所成的角………10分

連結(jié)EH,則EHBD,BHE=,EHPC,

∴tanBHE=,而BE=EC,

∴,∴sinPCA=,∴tanPCA=,

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是…………………………12分

用向量方法：

解：以A為原點，AB,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)，

D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0),E(),F(),G(m,m,0)(0<m<)

…………………………2分

（Ⅰ）=（-1，1，0），=（），

=-m++m-+0=0,

∴BDFG    …………………………………………4分

（Ⅱ）要使FG//平面PBD，只需FG//EP,而=(),由=可得，解得=1，m=,                      ………………………………………6分

∴G（，，0），∴，

故當(dāng)AG=AC時，F(xiàn)G//平面PBD      …………………………8分

(Ⅲ)設(shè)平面PBC的一個法向量為=（x,y,z），則，而，，∴，取z=1,得=（a,0,1）,同理可得平面PDC的一個法向量為=（0，a,1）,

設(shè)，所成的角為，則|cos|=|cos|=,即=，∴，

∴a=1              …………………………………………………11分

∵面ABCD, ∴PCA就是PC與底面ABCD所成的角,

∴tanPCA=    ………………………………12分