Question

已知數(shù)列{a_n}，（n∈N）滿足a₁=1，且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)m，n（m≥n）均有：a_m+n+a_m-n+m-n-1=

1

2

(a2m+a2n)．
（1）求a₀，a₂；
（2）求證：數(shù)列{a_m+1-a_m}（m∈N^*）是等差數(shù)列，并求a_n（n∈N^*）的通項(xiàng)；
（3）令c_n=a_n+3n-1（n∈N^*），求證：

n

k=1

1

ck

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）令m=n，得a₀；令n=0，得a_2m，從而可求a₂；
（2）令n=1，可得a_m+1-a_m=a_m-a_m-1+2，從而數(shù)列{a_m+1-a_m}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，利用疊加法可求a_n（n∈N^*）的通項(xiàng)；
（3）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：令m=n，得a₀=1，…（1分）
令n=0，得a_2m=4a_m+2m-3，∴a₂=3；…（3分）
（2）證明：令n=1，得：am+1+am-1+m-2=

1

2

(a2m+a2)=2am+m，
∴a_m+1-a_m=a_m-a_m-1+2，
又a₂-a₁=2，
∴數(shù)列{a_m+1-a_m}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
∴am+1-am=2m(m∈N*)．
∴am=a1+

m-1

k=1

(ak+1-ak)=m(m-1)+1(m∈N*)．
∴an=n(n-1)+1(n∈N*)；…（9分）
（3）證明：∵cn=an+3n-1=n2+2n(n∈N*)，
∴

1

cn

=

1

n(n+2)

，
∴

n

k=1

1

ck

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

＜

3

4

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．