Question

設(shè)a₁,a₂,…,a_n是n個正數(shù),證明,當(dāng)且僅當(dāng)a₁=a₂=…=a_n時等號成立.

Answer 1

證法一:記G=,令b_i=(i=1,2,…,n),則原不等式?b₁+b₂+…+b_n≥n,其中b₁·b₂·…·b_n=1.取x₁,x₂,…,x_n,使b₁=,b₂=,…,b_n-1=,則b_n=,由排序不等式易證

b₁+b₂+…+b_n=++…+≥n,當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=…=x_n時等號成立.

所以所證不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)a₁=a₂=…=a_n時等號成立.

證法二:令t_i=(i=1,2,…,n),則t_n=1.從而正數(shù)序列t₁,t₂,…,t_n及對應(yīng)兩項大小次序正好相反,由排序原理得

n=t₁·+t₂·+…+t_n·≤t₁·+t₂·+…+t_n·,

即n≤=,

從而G≤,當(dāng)且僅當(dāng)a₁=a₂=…=a_n時等號成立.