Question

9．在等腰△ABC中，BD和CE是兩腰上的中線，且以BD⊥CE，求cosA．

Answer 1

分析 連接DE，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC，垂足為F，設(shè)DE=2x，DE為△ABC的中位線，故BC=4x，四邊形BCDE為等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可知，BF=$\frac{1}{2}$（BC-DE）=x，則FC=3x，又△BCG為等腰直角三角形，故△CEF為等腰直角三角形，則EF=CF=3x，解Rt△BEF可求解cos∠BEF，利用二倍角公式可得頂角∠A的余弦值．

解答 解：如圖，連接DE，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC，垂足為F，設(shè)DE=2x，
依題意，得DE為△ABC的中位線，∴BC=4x，
又∵四邊形BCDE為等腰梯形，
∴BF=$\frac{1}{2}$（BC-DE）=x，則FC=3x，
∵BD⊥CE，
∴△BCG為等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴EF=CF=3x，
在Rt△BEF中，EF=3x，BF=x，BE=$\sqrt{10}$x，
∴cos∠BEF=$\frac{\sqrt{3}}{10}$，
∴cos∠A=2cos²∠BEF-1=2×$\frac{9}{10}$-1=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了銳角三角函數(shù)值的求法，三角形中位線定理，梯形的性質(zhì)．求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過(guò)設(shè)參數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中求三角函數(shù)值．