Question

一海豚在水池中自由游弋,水池為長(zhǎng)30 m,寬20 m的長(zhǎng)方形,求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2 m的概率；并利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn).

Answer 1

【探究】海豚在水中自由游弋,其在水池中的哪個(gè)位置是等可能的,故這是幾何概型.

【解法一】對(duì)于幾何概型,關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形,利用圖形的幾何度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率.如圖3-3-19所示,區(qū)域Ω是長(zhǎng)30 m、寬20 m的長(zhǎng)方形.圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2 m”,問(wèn)題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率.由于區(qū)域Ω的面積為30×20=600(m²),

             圖3-3-19

    陰影A的面積為30×20-26×16=184(m²).

∴P(A)=≈0.31.

【解法二】利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)x和y,用它們來(lái)表示海豚嘴尖的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo).

    下面設(shè)計(jì)一個(gè)算法使得計(jì)算機(jī)或計(jì)算器能模擬這個(gè)試驗(yàn),并且估計(jì)事件A發(fā)生的概率.

    第一步：用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次試驗(yàn),用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次(x,y)出現(xiàn)在陰影部分中.首先置n=0,m=0.

    第二步：用變換rand(#)*30-15產(chǎn)生-15—15之間的隨機(jī)數(shù)x作為海豚嘴尖的橫坐標(biāo)；用變換rand(#)*20-10產(chǎn)生-10—10之間的隨機(jī)數(shù)y作為海豚嘴尖的縱坐標(biāo).

    第三步：判斷(x,y)是否落在陰影部分中,即是否滿足||x|-15|≤2或||y|-10|≤2.如果是,則計(jì)數(shù)器m的值加1,即m=m+1.如果不是,m的值保持不變.

    第四步：表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n的值加1,即n=n+1.如果還需要繼續(xù)試驗(yàn),則返回第二步繼續(xù)執(zhí)行,否則程序結(jié)束.程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率mn作為A的概率的近似值.

規(guī)律總結(jié) 均勻隨機(jī)數(shù)在日常生活中,有著廣泛的應(yīng)用,我們可以利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)來(lái)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù),從而來(lái)模擬隨機(jī)試驗(yàn),其具體方法是：建立一個(gè)概率模型,它與某些我們感興趣的量(如概率值、常數(shù)π)有關(guān),然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn),并通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)確定這些量.