Question

10．若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)性質(zhì)；①f（x）的最小正周期為π；②對(duì)任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）=f（-x）；③f（x）在（$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)．則f（x）的解析式可能是（　�。�

• A． f（x）=cos（x+$\frac{π}{8}$）
• B． f（x）=sin2x-cos2x
• C． f（x）=sinxcosx
• D． f（x）=sin2x+cos2x

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合題意的三個(gè)性質(zhì)，逐個(gè)排查即可．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足：①f（x）的最小正周期為π；
②對(duì)任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）=f（-x），
以“x+$\frac{π}{8}$”換“x”，得f（x-$\frac{π}{8}$）=f（-x-$\frac{π}{8}$），
即f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{8}$對(duì)稱(chēng)；
③f（x）在（$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)；
對(duì)于A，f（x）=cos（x+$\frac{π}{8}$）的周期為T(mén)=2π，不符合①，故不滿(mǎn)足題意；
對(duì)于B，f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），不符合②，故不滿(mǎn)足題意；
對(duì)于C，f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，不符合②，故不滿(mǎn)足題意；
對(duì)于D，f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），符合①②③，滿(mǎn)足題意．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．