Question

已知函數(shù)
（1）求；
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3） 求證：a₁a₂a₃…a_n＞．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)F（x）的解析式化簡得到F（x）+F（1-x）=3，所以把所求的式子乘以2后，倒序相加即可得到所求式子的值；
（2）先把x=a_n代入f（x）的解析式中，確定出f（a_n），由a_n+1=F（a_n），兩邊都減去1，化簡后即可得到數(shù)列是以2為公差、1為首項得等差數(shù)列，寫出數(shù)列的通項公式即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）根據(jù)（2n）²＞（2n）²-1，得到，根據(jù)（2）中求出的數(shù)列{a_n}的通項公式列舉出各項，收縮不等式后約分即可得證．
解答：解：（1）因為，
所以由倒序相加可得：2[]
=[F（）+F（）]+…+[F（）+F（）]
=3×2010=6030，
則=3015；
（2）由a_n+1=F（a_n），兩邊同時減去1，得，
所以，
故是以2為公差、1為首項得等差數(shù)列．
所以，由此
（3）因為（2n）²＞（2n）²-1=（2n+1）（2n-1），
所以，于是
所以
＞．
點評：此題考查了等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的確定方法，是一道中檔題．本題的技巧性比較強如第1問中求出F（x）+F（1-x）的值，然后利用倒序相加的方法來求解；第3問證明不等式時注意利用不等式的放縮的方法來證明．