Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-2x+2，對(duì)于任意x∈（1，4），都有f（x）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a$＞\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分a＜0，a=0和a＞0三種情況，分別討論滿足對(duì)于任意x∈（1，4），都有f（x）＞0的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：若a＜0，則對(duì)于任意x∈（1，4），都有f（x）＞0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}f（1）≥0\\ f（4）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\ 16a-6≥0\end{array}\right.$，此時(shí)不滿足滿足條件的a值；
若a=0，則函數(shù)f（x）=-2x+2，當(dāng)x∈（1，4）時(shí)，f（x）＜0恒成立，不滿足條件；
若a＞0，當(dāng)△=4-8a＜0，即a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＞0恒成立，滿足條件；
當(dāng)△=4-8a≥0，即0＜a$≤\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=$\frac{1}{a}$＞2為對(duì)稱軸的直線，
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＞4\\ f（4）=16a-6≥0\end{array}\right.$，此時(shí)不存在滿足條件的a值，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a$＞\frac{1}{2}$，
故答案為：a$＞\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．