Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$lg（kx），g（x）=lg（x+1）．
（1）求f（x）-g（x）的定義域．
（2）若方程f（x）=g（x）有且僅有一個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得kx＞0，且x+1＞0，對k討論，分k＞0，k＜0，即可得到所求函數(shù)的定義域；
（2）由參數(shù)分離可得kx=（x+1）²＞0，即k-2=x+$\frac{1}{x}$，對k討論，結(jié)合對號函數(shù)的單調(diào)性，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$lg（kx）-lg（x+1），
可得kx＞0，且x+1＞0，
當(dāng)k＞0時，可得x＞0；當(dāng)k＜0，可得-1＜x＜0．
綜上可得k＞0時，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)k＜0時，函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，0）；
（2）f（x）=g（x）即為$\frac{1}{2}$lg（kx）=lg（x+1），
即有kx=（x+1）²＞0，
當(dāng)k＞0時，x＞0，可得k-2=x+$\frac{1}{x}$，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取得最小值2，
且（0，1）遞減，（1，+∞）遞增，
故方程有且只有一個根，即為x=1，解得k=4；
當(dāng)當(dāng)k＜0時，-1＜x＜0，可得k-2=x+$\frac{1}{x}$，
由x+$\frac{1}{x}$在（-1，0）遞減，可得x+$\frac{1}{x}$＜-2，
故方程有且只有一個根，即有k-2＜-2，解得k＜0．
綜上可得，k的范圍是（-∞，0）∪{4}．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域和運(yùn)算性質(zhì)，考查分類討論的思想方法，注意運(yùn)用分離參數(shù)和對號函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．