Question

18．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a-1）x²-ax（x∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在R上的極大值與極小值．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出極值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，解得x=1，或x=-1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞1，或x＜-1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即-1＜x＜1，函數(shù)為減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減；
（2）f′（x）=x²-（a-1）x-a=（x-a）（x+1），
令f′（x）=0，解得x=-1或x=a，
①當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值，
②當(dāng)a＞-1時(shí)，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞a，或x＜-1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即-1＜x＜a，函數(shù)為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為f（-1）=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$（a-1）+a=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{6}$，
當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有極小值，極大值為f（a）=-$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}$（a-1）a²+a²=-$\frac{5}{6}$a³+$\frac{3}{2}$a²，
③當(dāng)a＜-1時(shí)，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞-1，或x＜a時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即a＜x＜-1，函數(shù)為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為f（-1）=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{6}$，
當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為f（a）=-$\frac{5}{6}$a³+$\frac{3}{2}$a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值以及分類討論的思想，屬于中檔題．