Question

15．端午節(jié)即將到來，為了做好端午節(jié)商場促銷活動，某商場打算將進行促銷活動的禮品盒重新設計．方案如下：將一塊邊長為10的正方形紙片ABCD剪去四個全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′再將剩下的陰影部分折成一個四棱錐形狀的包裝盒S-EFGH，其中A，B，C，D重合于點O，E與E′重合，F與F′重合，G與G′重合，H與H′重合（如圖所示）．
（Ⅰ）求證：平面SEG⊥平面SFH；
（Ⅱ）當AE=$\frac{5}{2}$時，求二面角E-SH-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）拼接成底面EFGH的四個直角三角形必為全等的等腰直角三角形，從而EG⊥FH，EG⊥FH，EG⊥SO，由此能證明平面SEG⊥平面SFH．
（Ⅱ）過O作OM⊥SH交SH于M點，連EM，證明∠EMO為二面角E-SH-F的平面角，即可求得結論．

解答 （1）證明：∵折后A，B，C，D重合于一點O，
∴拼接成底面EFGH的四個直角三角形必為全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面圖形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，
∴SE=SG，∴EG⊥SO，
又∵SO、FH?平面SFH，SO∩FH=O，
∴EC⊥平面SFH，
又∵EG?平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．…（6分）
（Ⅱ）解：過O作OM⊥SH交SH于M點，連EM，
∵EO⊥平面SFH，
∴EO⊥SH，
∴SH⊥面EMO，
∴∠EMO為二面角E-SH-F的平面角．…（8分）
當AE=$\frac{5}{2}$時，即OE=$\frac{5}{2}$
Rt△SHO中，SO=5，SH=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，∴OM=$\frac{SO•OH}{SH}$=$\sqrt{5}$，
Rt△EMO中，EM=$\sqrt{E{O}^{2}+O{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠EMO=$\frac{OM}{EM}$=$\frac{2}{3}$，
∴所求二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$．                               …（12分）

點評 本小題考查空間中直線與平面的位置關系、二面角的余弦值等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想．