Question

3．一個橢圓中心在原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，P（2，$\sqrt{3}$）是橢圓上一點，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差數(shù)列，則橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由已知結(jié)合橢圓性質(zhì)及等差數(shù)列性質(zhì)列出方程求出a，b，由此能求出橢圓方程．

解答 解：∵個橢圓中心在原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，
∴設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵P（2，$\sqrt{3}$）是橢圓上一點，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}=1}\\{2a=4c}\end{array}\right.$，且a²=b²+c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．

點評 本題考是橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．