Question

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點.

（1）求證：AB₁⊥平面A₁BD；

（2）求二面角A-A₁D-B的大小.

Answer 1

解:(1)證明:取BC中點O，連結(jié)AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.

∵正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁.

連結(jié)B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O、D分別為BC、CC₁的中點，∴B₁O⊥BD.∴AB₁⊥BD.

在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，∴AB₁⊥平面A₁BD.

(2)設(shè)AB₁與A₁B交于點G，在平面A₁BD中，

作GF⊥A₁D于F，連結(jié)AF，由(1)得AB₁⊥平面A₁BD.

∴AF⊥A₁D.∴∠AFG為二面角A-A₁D-B的平面角.

在△AA₁D中，由等面積法可求得AF=，

又∵AG=AB₁=，∴sin∠AFG=.

∴二面角AA₁DB的大小為arcsin.