Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分別是棱PD、BC的中點．
（1）求證：AE⊥PC；
（2）求直線PF與平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：方法一：（1）利用線面垂直的性質(zhì)與判定，證明AE⊥平面PDC即可；
（2）過點F作FH⊥AC于點H，連接PH，可得∠FPH為直線PF與平面PAC所成的角；
方法二：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，證明即可；
（2）證明BD⊥平面PAC，確定平面PAC的法向量=（-1，1，0），，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：（方法一）（1）證明：因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥DC
因為底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC
因為AD∩PA=A，所以DC⊥平面PAD，
因為AE?平面PAD，所以AE⊥DC，（3分）
又因為PA=AD，點E是棱PD的中點，所以AE⊥PD，
因為PD∩DC=D，所以AE⊥平面PDC，
因為PC?平面PDC，所以AE⊥PC．（7分）
（2）解：過點F作FH⊥AC于點H，連接PH，由F是棱BC的中點，底面是正方形可得，
又由PA⊥底面ABCD得到PA⊥FH，
因為AD∩PA=A，所以FH⊥平面PAC，
所以∠FPH為直線PF與平面PAC所成的角，（10分）
設(shè)AD=1，得到FH=，
在RT△PAH中，，．（14分）
（方法二）（1）證明：以A為原點，分別以的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=AD=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），（2分）
∵點E、F分別是棱PD、BC的中點，
∴，，，（4分）
∴，∴AE⊥PC．（6分）
（2）解：由PA⊥底面ABCD得到PA⊥BD，AC⊥BD，
∵AD∩PA=A，∴BD⊥平面PAC
取平面PAC的法向量=（-1，1，0），（10分）設(shè)直線PF與平面PAC所成的角θ，則
∴，∴，（13分）
故．（14分）
點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查利用行向量的方法解決立體幾何問題，屬于中檔題．