Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（x∈R，a≠0）．
（1）若a=1，b=-4，c=3，求f（x）＜0的解集．
（2）若a＜0，c=-2，方程f（x）=x的兩實根x₁，x₂滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．求證：-4＜$\frac{a}$＜-1．
（3）若函數(shù)f（x）的最小值為0，且a＜b，求$\frac{a+2b+4c}{b-a}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）a=1，b=-4，c=3，f（x）=x²-4x+3，由f（x）＜0，化為（x-1）（x-3）＜0．解出即可得出．
（2）方程f（x）=x化為g（x）=ax²+（b-1）x-2=0，（a＜0），方程f（x）=x的兩實根x₁，x₂滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．可得$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＜0}\\{g（1）＞0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3＞0}\\{2a+b-2＜0}\end{array}\right.$，如圖所示陰影部分，P（-1，4）．利用斜率的意義即可得出．
（3）f（x）=$a（x+\frac{2a}）^{2}+$$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，由函數(shù)f（x）的最小值為0，且a＜b，可得0＜a＜b，b²=4ac．令$\frac{a}=t＞1$，$\frac{a+2b+4c}{b-a}$=$\frac{a+2b+\frac{^{2}}{a}}{b-a}$=$\frac{{t}^{2}+2t+1}{t-1}$=$t-1+\frac{4}{t-1}$+4，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）解：a=1，b=-4，c=3，f（x）=x²-4x+3，由f（x）＜0，化為（x-1）（x-3）＜0．解得1＜x＜3，
∴f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜3}．
（2）證明：方程f（x）=x化為g（x）=ax²+（b-1）x-2=0，（a＜0），
∵方程f（x）=x的兩實根x₁，x₂滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＜0}\\{g（1）＞0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2＜0}\\{a+b-3＞0}\\{4a+2b-4＜0}\end{array}\right.$，化為$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3＞0}\\{2a+b-2＜0}\end{array}\right.$，
如圖所示陰影部分，P（-1，4）．
k_OP=-4，∴$-4＜\frac{a}＜-1$．
（3）解：f（x）=$a（x+\frac{2a}）^{2}+$$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，
∵函數(shù)f（x）的最小值為0，且a＜b，
∴0＜a＜b，b²=4ac．
令$\frac{a}=t＞1$，
$\frac{a+2b+4c}{b-a}$=$\frac{a+2b+\frac{^{2}}{a}}{b-a}$=$\frac{{t}^{2}+2t+1}{t-1}$=$t-1+\frac{4}{t-1}$+4≥2$\sqrt{（t-1）•\frac{4}{t-1}}$+4=8，當且僅當t=3即b=3a＞0時取等號．
∴$\frac{a+2b+4c}{b-a}$的最小值為8．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式解法、線性規(guī)劃、斜率的意義、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．