Question

已知f(x)＝log_a(a－a^x)(a＞1)，

(1)求f(x)的定義域和值域；

(2)判斷f(x)的單調性，并證明；

(3)解不等式f^－1(x²－2)＞f(x)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)為使函數(shù)有意義，需滿足a－ax＞0，即ax＜a．又a＞1， 　　∴x＜1，故定義域為(－∞，1)． 　　又loga(a－ax)＜logaa＝1，∴f(x)＜1，即函數(shù)值域為(－∞，1)． 　　(2)設x1＜x2＜1，則Δx＝x2－x1＞0，則 　　Δy＝f(x2)－f(x1)＝loga(a－ )－loga(a－ )＝loga＜loga1＝0， 　　∴f(x)為減函數(shù)． 　　(3)設y＝loga(a－ax)，則ay＝a－ax． 　　∴ax＝a－ay，x＝loga(a－ay)． 　　∴f(x)的反函數(shù)為f－1(x)＝loga(a－ax)． 　　由f－1(x2－2)＞f(x)，得loga(a－a－2)＞loga(a－ax)． 　　∴a－2． 　　∴x2－2＜x，即x2－x－2＜0．解得－1＜x＜2． 　　又f(x)的定義域為(－∞，1)，∴原不等式的解集為{x|－1＜x＜1}．