Question

光線l過點P（1，-1），經(jīng)y軸反射后與圓C：（x-4）²+（y-4）²=1相切，求光線l所在的直線方程．

Answer 1

解：由圓C：（x-4）²+（y-4）²=1，得到圓心C（4，4），半徑r=1，
設(shè)光線l與y軸的交點（即反射點）為Q，點P關(guān)于y軸的對稱點為P′（-1，-1），
由光學(xué)知識可知直線P′Q為反射線所在的直線，且為圓C的切線，…（2分）
設(shè)P′Q的方程為y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0，…（4分）
∵直線P′Q與圓C相切，
∴圓心C（4，4）到直線P′Q的距離等于半徑長，即=1，
解得：k=或k=，…（8分）
由光線l與直線P′Q關(guān)于y軸對稱可得：光線l的斜率為-或-，…（10分）
∴光線l所在的直線方程為y+1=-（x-1）或y+1=-（x-1），即4x+3y-1=0或3x+4y+1=0．…（12分）
分析：由圓C的方程找出圓心C的坐標(biāo)及圓的半徑r，設(shè)光線l與y軸的交點為Q，點P關(guān)于y軸的對稱點為P′，根據(jù)與y軸對稱點的特點寫出P′的坐標(biāo)，由光學(xué)知識可知直線P′Q為反射線所在的直線，且為圓C的切線，設(shè)直線P′Q的斜率為k，由P的坐標(biāo)表示出直線P′Q，根據(jù)光線l經(jīng)y軸反射后與圓C相切，得到圓心到直線P′Q的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，再由由光線l與P′Q關(guān)于y軸對稱可得光線l的斜率，最后由P的坐標(biāo)及求出的光線的斜率寫出光線l的方程即可．
點評：此題考查了圓的切線方程，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)于y軸對稱的直線方程，點到直線的距離公式，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，以及直線的點斜式方程，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．