Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的正切值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2，知PA⊥AB， 同理，PA⊥AD， 所以PA⊥平面ABCD； 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111126/201111261323132031287.gif"> ， 所以共面， 又PB平面EAC， 所以PB∥平面EAC。
（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD， 作GH⊥AC于H，連結(jié)EH， 則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角， 又E是PD的中點(diǎn)，從而G是AD的中點(diǎn)， ， 所以。