Question

10．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，且（1+i）•z是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z及共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$．

Answer 1

分析 復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，可設(shè)z=2（cosθ+isinθ），由（1+i）•z=2[（cosθ-sinθ）+i（cosθ+sinθ）]是純虛數(shù)，可得cosθ-sinθ=0，cosθ+sinθ≠0，解出即可得出．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，
∴可設(shè)z=2（cosθ+isinθ），
∵（1+i）•z=（1+i）2（cosθ+isinθ）=2[（cosθ-sinθ）+i（cosθ+sinθ）]是純虛數(shù)，
∴cosθ-sinθ=0，cosθ+sinθ≠0，
∴tanθ=1，
∴cosθ=sinθ=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴z=$±（\sqrt{2}+i\sqrt{2}）$，
∴$\overline{z}$=$\sqrt{2}-i\sqrt{2}$，$\overline{z}$=-$\sqrt{2}$+$i\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．