Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）若a＝1，求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅱ）若f（x）在[1，＋∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）對于，求證：.

 

Answer 1

（1）極小值為0，無極大值；（2）；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）直接運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極值；（2）f（x）在[1，＋∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，等價(jià)于f '（x）的值在[1，＋∞）上非負(fù)恒成立；（3）借助（1）所得結(jié)論，將x替換為一系列n的表達(dá)式后求和，并結(jié)合適當(dāng)?shù)姆趴s可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

∴；無極大值

（Ⅱ）

∵在內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)

∴即關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立

①當(dāng)即時(shí)，即

∴

②當(dāng)即時(shí)，即

∴

由①②可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是

（Ⅲ）由（Ⅰ）知在時(shí)恒成立

∴

令，則即

∴

…………………

∴ 即

考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)，單調(diào)性，極值，不等式恒成立，放縮法證明不等式