Question

已知函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）設f（x）的最小值為g（a），求證：-

1

a

＜g(a)＜0．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)進行求導，根據(jù)導函數(shù)大于0原函數(shù)單調遞增，導函數(shù)小于0原函數(shù)單調遞減可得答案；
（2）由（1）可知，f（x）的最小值為 g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)ln(

1

a

+1)，a＞0，構造函數(shù)設 φ(x)=ln(x+1)-

x

x+1

，x∈（0，+∞），利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，即可證明結論．

解答：解：（1）由已知可得函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），
而 f′(x)=

a(x- 1 a )

x+1

，
∵a＞0，x＞-1，∴當 -1＜x＜

1

a

時，f'（x）＜0，
當 x＞

1

a

時，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間是 (-1，

1

a

)，單調遞增區(qū)間是 (

1

a

，+∞)．     
（2）由（1）可知，f（x）的最小值
為 g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)ln(

1

a

+1)，a＞0． 
要證明 -

1

a

＜g(a)＜0，
只須證明

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．            
設 φ(x)=ln(x+1)-

x

x+1

，x∈（0，+∞）．                               
則 φ′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

＞0，
∴φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ln(x+1)＞

x

x+1

．
取 x=

1

a

得到

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)成立．                   
設ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x．
取 x=

1

a

得到 ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．因此，-

1

a

＜g(a)＜0．

點評：本題以函數(shù)為載體，，主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以此為主線，貫穿其中．但對以上第二個問題的解答，關鍵是構造函數(shù)，這是函數(shù)這一章節(jié)的重點和難點，屬難題．