Question

6．已知向量$\vec a=（{1，2-x}）$，$\vec b=（{1+x，2}）$．
（1）若$\vec a∥\vec b$，求x的值；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時，求$\vec a•（{\vec a-\vec b}）$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用向量共線的坐標(biāo)表示，可得x的方程，解方程即可；
（2）運用向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）因為向量$\vec a=（{1，2-x}）$，$\vec b=（{1+x，2}）$，$\vec a∥\vec b$，
所以（2-x）（1+x）=1×2，即為x²-x=0
解得x=0或x=1；
（2）因為$\vec a=（{1，2-x}）$，$\vec b=（{1+x，2}）$，所以$\vec a-\vec b=（{-x，-x}）$，
所以$\vec a•（{\vec a-\vec b}）=-x+（{-x}）（{2-x}）={x^2}-3x={（{x-\frac{3}{2}}）^2}-\frac{9}{4}$，
因為x∈[0，2]，當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時取得最小值-$\frac{9}{4}$，當(dāng)x=0時，x²-3x=0；當(dāng)x=2時，x²-3x=-2，
可得最大值為0，
所以$\vec a•（{\vec a-\vec b}）$的取值范圍$[{-\frac{9}{4}，0}]$．

點評 本題考查向量共線的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法，考查運算能力，屬于中檔題．